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曲线间的面积

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Campanulata

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抛物线上的圆

阅读(99)

解析几何导数积分

收录于

华山论剑 -- 2022年05月25日

摘要

抛物线和圆之间的区域面积有多大?

如图所示, 半径为1的圆与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于两点. 则圆心的坐标是多少?

显然圆心在 $\text{[math]}$ 轴上. 由于圆的半径固定为 $\text{[math]}$ 可以想象如果将圆心往上移动，则圆和抛物线就不会相切，因此圆心到切点的距离可以看成是圆心到抛物线上的点的距离的最小值. 从这个角度入手, 这个问题就迎刃而解了. 下面给出具体解答过程.

设圆心为 $\text{[math]}$ , 抛物线上任意点为 $\text{[math]}$ . 则圆心到抛物线上任意点的距离为

$\text{[math]}$

其最小值 $\text{[math]}$ .

求导得

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时有

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ , 因为圆的半径为 $\text{[math]}$ 此时圆与抛物线的顶点相切, 不满足题意.

当 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ . 代入 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ .

则圆心坐标为 $\text{[math]}$

那么根据这个结果, 你能进一步求出切点的坐标以及圆和抛物线之间的区域面积吗？

展开正文...

题目

如图所示, 半径为 $\text{[math]}$ 的圆与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于两点. 则圆和抛物线之间的区域面积是 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

提交

等 14 人参与了问题讨论

解答

Campanulata发表于1 年前

设圆心为 $\text{[math]}$ , 抛物线上任意点为 $\text{[math]}$ . 则圆心到抛物线上任意点的距离为

$\text{[math]}$

其最小值 $\text{[math]}$ . 求导得

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时有

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ , 即圆与抛物线的顶点相切, 不满足题意.

当 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ . 代入 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ .

故圆的方程为 $\text{[math]}$ . 把抛物线方程 $\text{[math]}$ 代入得 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . 因此切点坐标为 $\text{[math]}$

由几何关系得五边形 $\text{[math]}$ 的面积为

$\text{[math]}$

扇形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ,

抛物线的弧 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴所成面积为 $\text{[math]}$ .

因此所求阴影面积为

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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