方中有方
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平面几何
面积
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初中数学 -- 2022年03月31日
初中数学 -- 2022年03月31日摘要
将四个直角三角形置于正方形内, 则中间小正方形面积是多少?
我们知道, 两个三角形相似, 则对应角相等, 对应边成比例, 那么他们之间的面积有什么关系呢？
答案是相似三角形的面积比是其对应边的平方比.
具体的来说, 如果有两个相似三角形, 如图所示, 其对应边分别为
和
.
那么它们的面积之比将等于
的平方, 即
下面对此结论作一个简单的证明.
作三角形的高. 设左边三角形的高度为
, 则另一个三角形的高度等于
.
根据三角形面积公式有
联立得
.
所以如果两个三角形的相似比是, 它们的面积比就是
.
那么你能用这个结论解决下面这道面积题吗？
如图, 在正方形
中,点
是边
中点,
交対角线
于点
.四边形
的面积为
,则的面积是?
令
的面积为,则
的面积为
, 正方形的面积为
.
利用三角形相似的判定定理, 
,相似比为
,于是
的面积为
.
接着考虑梯形
, 其面积既是正方形面积的
, 又为
.
建立关于的方程:
解得
.
于是正方形面积为
.
展开正文...
个直角边长分别为
和
直角三角形置于边长为
的正方形内, 则中间正方形的面积是__________.
如果用正方形面积减去4个三角形面积, 那么图中4个灰色三角形各被计算了两次. 因此需要再加上这些被重复计算的面积.
为了计算灰色三角形的面积, 我们观察以下两个直角三角形.
由于内外都是正方形，因此
.
而
,
又
.
由于相似三角形面积比等于其相似比的平方, 因此
解得
.
因此中间小正方形的面积为