你真的了解维度吗？（维度系列1）

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分形

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华山论剑 -- 2022年02月09日

摘要

物体维度，缩小比例，副本个数，之间存在什么关系呢？

你有没有思考过这样的问题，我们生活在多少维度？许多人会说三维，也有人会说四维——因为爱因斯坦向我们阐述的时空观中，时间是除了我们熟悉的三维空间以外的第四个维度. 而在一些物理学理论中，人们认为存在10、11、24甚至26个维度！所有其他这些维度是什么呢？

事实上这不是科学问题，而是数学问题. 下面我们看看如何以几何方式定义维度.

首先让我们来剖析一下我们"熟悉的三个空间维度". 物体的维度是物体互相垂直方向的数量，我们可以用它来测量物体上的距离. （令人困惑的是，这些方向就称为维度. ）

（在房间的任何角落，墙壁与地板或彼此相交的线条显示三个垂直方向，这是我们生活的三个空间维度. ）

以下是几何学上关于维度的一些示例：

维度还涉及到对象如何由其自身较小的副本组成. 考虑一条线段，它是直线的一部分，所以它是1- 维.

如果我们将其长度缩小一倍，我们可以用2条缩短的线段拼接在一起来表示原来的线段：

如果我们将其长度缩小为原来的 $\text{[math]}$ ，我们可以用3条缩短的线段拼接在一起来表示原来的线段：

接下来，让我们来研究直角三角形. 这是平面的一部分，所以它是2- 维度.

如果我们将其长度和宽度都缩小为原来的一半，我们可以用4个缩小的三角形拼接在一起来表示原来的三角形：

同样，如果我们将其长度和宽度都缩小为原来的 $\text{[math]}$ ，我们可以用9个缩小的三角形拼接在一起来表示原来的三角形：

那么这里描述的维度、缩小比例和副本数量之间有什么关系呢？来看看今天的挑战题吧.

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题目

对一个D—维度的对象，将其在每个维度（方向）上按比例缩小 $\text{[math]}$ 倍，将 $\text{[math]}$ 个副本放在一起可以重新组成原始对象.

例如，如果对象是正方形，则它具有长度和宽度，因此其维度D = 2. 假设我们将其按比例缩小S = 2倍. 然后，我们可以将缩小的正方形副本取 $\text{[math]}$ 放在一起以重新组成原来的正方形.

那么以下选项能正确表示 $\text{[math]}$ 三个量之间的关系是方程__________.

提示：还请考虑不同的缩小比例和更高维比如3-维对象.

选项

$\text{[math]}$

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