爱心外接圆

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理,是勾股定理在一般三角形情形下的推广.

对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值的乘积的两倍.

若三边为,,,三角为,,,则如下图所示,在中

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三边求三角的问题,若对余弦定理加以变形并结合其它知识,则使用起来更为方便、灵活.

下面给出余弦定理的2种证明.

解析几何法证明

以点为原点建立平面直角坐标系.

则根据三角形三条边长,,,和对应的三角,可得点的坐标

.

由两点间距离公式可得.

即

同理可证另外两式.

向量法证明

用向量表示的边.

则

用三角形边长代入,则有,即

同理可证另外两式.