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关于因数个数的数论题

作者:

慕容玖

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100盏电灯

阅读(133)
数论 约数
收录于初中数学 -- 2021年10月28日

有100盏电灯开了又关, 你能判断出最后有多少盏灯是亮着的吗?

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有100盏电灯,排成一排, 从左到右依次标上号码. 每盏灯都有一根拉线开关控制, 最初电灯全部熄灭.

第一轮点亮所有电灯,第二轮每两盏灯熄灭一盏,即熄灭第2盏,第4盏,以此类推,第三轮改变编号为3的倍数的电灯状态,即第3盏,第6盏,......,第99盏, 如果原来那盏灯是亮的,就熄灭它,如果原来是灭的,就点亮它,以此类推,直到第100轮. 那么第100轮结束后,还有 __________盏灯是亮着的.

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    慕容玖

    每次改变电灯状态就相当于是被拉了一次开关. 因为最初灯是关着的, 所以凡是被拉了奇数次开关的灯最后应该是亮着的, 而被拉了偶数次开关的灯则是关着的.

    现在考虑一个编号为的灯, 如果只有两个正约数(包括自身), 那么开关只被拉了两次. 比如号灯, 只有这两个正约数, 因此只有第一个人和第五个人各将开关拉了一下, 最后号灯是关着的. 同样, 如果有三个正约数, 也就是开关被拉了三次. 此时灯是开着的.

    那么,哪些整数有奇数个正约数呢?答案是完全平方数.

    如果不是一个完全平方数, 那么每一对约数都是由不同的数字组成的,即如果m有约数,那么就有, 且两者是不相等的. 因此, 如果不是一个平方数, 那么第盏灯开关被拉的次数为偶数, 因此不改变灯的状态,最终灯会关上.

    如果是一个平方数, 则除了约数,其他约数都是成对出现的,为奇数个, 因此开关被拉的次数是奇数, 最后灯就是亮着的.

    由此可知, 在编号为的电灯中, 只有号码是这十盛灯最后是亮着的.

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