100盏电灯
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数论
约数
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初中数学 -- 2021年10月28日
初中数学 -- 2021年10月28日摘要
有100盏电灯开了又关, 你能判断出最后有多少盏灯是亮着的吗？
完全平方数, 是指可以写成某个整数的平方的数, 即其平方根为整数的数. 例如, 
, 是一个完全平方数.
前几个完全平方数也很容易写出:
.
由于每个完全平方数都可以由一个它的约数平方得到, 而其他所有约数都是成对出现, 因此平方数的正约数个数一定是奇数.
那么你能用平方数的这条性质完成今天的挑战题吗？
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题目
有100盏电灯，排成一排, 从左到右依次标上
号码. 每盏灯都有一根拉线开关控制, 最初电灯全部熄灭.
第一轮点亮所有电灯，第二轮每两盏灯熄灭一盏，即熄灭第2盏，第4盏，以此类推，第三轮改变编号为3的倍数的电灯状态，即第3盏，第6盏，......，第99盏, 如果原来那盏灯是亮的，就熄灭它，如果原来是灭的，就点亮它，以此类推，直到第100轮. 那么第100轮结束后，还有 __________盏灯是亮着的.
选项
8
9
10
11
提交
等 23 人参与了问题讨论
每次改变电灯状态就相当于是被拉了一次开关. 因为最初灯是关着的, 所以凡是被拉了奇数次开关的灯最后应该是亮着的, 而被拉了偶数次开关的灯则是关着的.
现在考虑一个编号为
的灯, 如果
只有两个正约数（包括
与
自身）, 那么开关只被拉了两次. 比如
号灯, 
只有
这两个正约数, 因此只有第一个人和第五个人各将开关拉了一下, 最后
号灯是关着的. 同样, 如果
有三个正约数, 也就是开关被拉了三次. 此时灯是开着的.
那么，哪些整数有奇数个正约数呢？答案是完全平方数.
如果
不是一个完全平方数, 那么每一对约数都是由不同的数字组成的，即如果m有约数
,那么就有
, 且两者是不相等的. 因此, 如果
不是一个平方数, 那么第
盏灯开关被拉的次数为偶数, 因此不改变灯的状态，最终灯会关上.
如果
是一个平方数, 则除了约数
，其他约数都是成对出现的，为奇数个, 因此开关被拉的次数是奇数, 最后灯就是亮着的.
由此可知, 在编号为
的电灯中, 只有号码是
这十盛灯最后是亮着的.