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关于三角形的几何题
作者:

慕容玖
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摘要
你能否重组三角形保证它的周长面积不变?
是否存在周长和面积都对应相等的两个三角形,并且要求三角形的边长均为整数?
我们不妨来计算一下.
设一对三角形的边长分别为和
,
为半周长.
因为这两个三角形有相同的周长,
所以.
因为它们有相同的面积, 根据海伦公式得
因此,
由于,
我们必须找到具有相同和与相同积的正整数. 设
其中和
是大于1的正整数, "和相同"的条件意味着
解得
由于,
因此一对三角形为和
,
它们的周长为,
面积为.
举个例子
当
时, 我们有边长分别为
和
的两个三角形, 周长均为
, 面积均为
.
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解答
三角形内切圆的半径
满足
, 其中
是三角形的半周长,
是其面积. 从下图中可以明显看出这一点.

因此,
, 所以这两个三角形的内切圆半径是一样的.
由此将
切成
,
和
, 其中
是中心点. 将这三个三角形沿直线平铺.

在图中, 线的两个端点都是点
. 另外, 三角形的顶点都是点
, 因为它们都来自于内切圆圆心.
沿着图中的虚线切割, 将三个三角形各切成三块, 并将各块排列成宽为
的矩形.
如果我们对两个给定的三角形都执行这个程序, 那么我们就会得到两个底为
、高为
的长方形. 其中一个三角形的逆切割操作就是还原它的方式.