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关于立体几何的排列组合题

作者:

慕容玖

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27个单位正方体

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立体几何 概率 组合
收录于华山论剑 -- 2021年09月08日

单位正方体有四面被染了颜色,共27个随机排列组成一个大正方体, 这个大正方体表面都被染色的概率是多少呢?

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有27个单位正方体, 将每个正方体的六个面中四个面染上颜色, 使得未染色的两个面有一条公共棱. 再将这27个单位正方体随机地组成一个的大正方体. 设这个大正方体的表面全部都有颜色的概率(为不同的质数, ) 则的值为 __________.

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    慕容玖

    大正方体的8个顶点对应8个小正方体, 大正方体的12条棱的中点又对应着12个小正方体, 而大正方体的6个面的中心对应着6个小正方体.

    显然, 一个单位正方体露在外面的面是被染过色的充要条件是它的未被染色的两个面的公共棱(除去端点)是含在大正方体内部的.

    对于顶点处的8个小正方体的每一个来说, 它的未染色的公共棱含在大正方体内共有3种可能; 对于棱的中点对应的12个小正方体的每一个来说, 未被染色的公共棱含在大正方体内共有5种可能; 而面中心对应的小正方体共有8种可能.

    因此, 所求大正方体的表面全部都有颜色的概率为

    从而, .

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