立体幻方

在组合数学中有一种图形，西方多称为magic square，而国人常称为幻方，就是将自然数 排入行列的方阵中，使得每行每列与两条对角线上的和均为.

中国是幻方的诞生地，洛书可谓是最早的三阶幻方：

最早从数学角度研究幻方的是杨辉，除了洛书之外，还有较高阶幻方，四阶幻方，五阶，直至十阶幻方，当然杨辉还研究了变形幻方。

杨辉之后，中算家对变形幻方研究不断，南宋有丁易东的《大衍索隐》、在明有程大位的 《算法统宗》和王文素的《古今算学宝鉴》，在清有张潮的《心斋杂俎》，保其寿的《增补算法浑圆图》.

下面我们看看保其寿的研究.保其寿推广幻方到三维，自称“立方与浑圆尤为可喜”.

保其寿的浑圆图是在立体的顶点、边线与面上，标以诸数，使得具相同的边数的面，其上诸标数的和为一定数.诸面若共用一边或一顶点，则该边与该顶点上的标数，在检验定和现象时，由各面重复使用.这种标数方法称为「定和标法」.

保其寿先处理了五个正多面体：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体.

在此我们只介绍正六面体.

如下图1是互补数对 (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) 的巧妙安排.因为只有顶点有标数，我们称其为「顶点型标法」.原文所谓「八子作二十四子用」，就是每个顶点被三个面使用，便相当于有二十四个标数.

图1

如下图2也是互补数对的安置法，因为只有边线有标数，我们称其为「边线型标法」.

图2

如下图3顶边中间的标数二，应该是二十，本页最要紧的一句话是「合前二法成此」，也就是说前两个图既然各面已具有定和，则把它并成一图，各面标数和仍然相等.但为了使最终的标数是 1, 2, 3, ……, n ，须把图2各数加8，因为各面均为四边形，如此只使原来的定和增加24.总之我们可以说保其寿运用了「叠合法原则」，从旧的浑圆图造出新的浑圆图.

图3

保其寿最突出的创作是「六道浑天图」，就是在球面上交错缠上六条纸带，把纸带与纸带的交点当作顶点，顶点与顶点间的纸带当作边线.我们欣赏一下：

最后，试试今日的挑战题，四面体幻方吧.

参考文献 [1].https://sites.google.com/a/g2.nctu.edu.tw/unimath/2017-05/magicsquare.