三环生一环
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平面几何
正余弦定理
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华山论剑 -- 2021年06月20日
华山论剑 -- 2021年06月20日摘要
如果3个相等的圆交于一点，那么经过它们另外三个交点的圆与原来的3个圆全等吗?
三个半径相等的圆交于一点
,圆心分别为
和
,
其他三个交点分别记作点
,你能找出与线段
的长度相等的线段吗？
如图所示连接蓝色线段,
三个圆的半径都相等，因此有四边形
是菱形，因此
平行且等于
。
同理可得
平行且等于。
于是平行且等于。
因此等于
.
利用上面的结论挑战今日的趣题吧！
展开正文...
的圆交于一点
、
、
作一个圆，半径为
,请问半径
的大小关系是 __________.
三个半径相等的圆交于一点
,圆心分别为
和
,
其他三个交点分别记作点
,过这三点作圆,圆心为
,
如图所示连接蓝色辅助线,
由几何关系可得
平行且等于
,所以
.
同理可得
和
的其他两条边也对应相等.
因此
.
所以外接圆半径相等，
的外接圆半径是
,
而
的外接圆圆心是
, 因此外接圆半径为
.
即
.
这个结论便是约翰逊圆定理(Johnson circle theorem):如果三个等大的圆交于一点，那么经过它们另外三个交点的圆与原来的三个圆全等.