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复数与几何

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慕容玖

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六边形上的三角形

阅读(40)

复数平面几何

收录于

华山论剑 -- 2021年06月07日

摘要

三角形的三个顶点都是所在边的中点,如何证明它是等边三角形呢?

如图所示,已知圆的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ .

从视觉上看 $\text{[math]}$ 是等边三角形,但是证明它却并不容易.不过为了让人们相信这个结论是正确的.我可以让

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ,

此时图形就变成了正六边形外接了一个圆,

从视觉上看 $\text{[math]}$ 确实是等边三角形. 或者令

$\text{[math]}$

显然 $\text{[math]}$ 是等边三角形. 但是要证明这个结论,有几何和代数方法，代数方法需要下面这个结论：在复数平面中,如果 $\text{[math]}$ 的三点ABC的对应复数分别为 $\text{[math]}$ . 那么当

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 时,

$\text{[math]}$ 为等边三角形. 那么你能用这个结论完成证明吗?

展开正文...

题目

已知圆的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ . 三角形 $\text{[math]}$ __________等边三角形.

选项

是

不是

提交

等 11 人参与了问题讨论

解答

慕容玖发表于2 年前

如图所示,以 $\text{[math]}$ 点为原点建立复数平面, $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上.

设 $\text{[math]}$ ,所有点的复数都用其小写字母表示,则 $\text{[math]}$ . 易知 $\text{[math]}$ ,所以 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

其中 $\text{[math]}$ .

根据中点，有

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 于是 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 因此, $\text{[math]}$ 因此三角形 $\text{[math]}$ 是等边三角形.

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