酒杯里的三角形
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数论
解析几何
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高中数学 -- 2021年04月23日
高中数学 -- 2021年04月23日摘要
抛物线上的等边三角形，已知一条边的斜率求三角形三个顶点的横坐标.
问题：已知直角三角形
中
为直角，
，
. 三角形
中
为直角，
.点
和
在
的对边.通过平行于
的直线与
的延长线相交于
点.
若
，其中m和n是一对互质正整数，求
.
本题的突破口在哪呢？比值
,且m和n是一对互质正整数.
何为互质？即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数.
比如18和23，公因数只有1，为互质数.
因此我们先来计算比值.
显然题目中给出了两组勾股数:
,
且
,
由此可见
又因为m和n是一对互质正整数，所以
所以
.
迎接今天的挑战题吧！
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等 9 人参与了问题讨论
题目
一个酒杯的轴截面是一个抛物线的一部分，抛物线方程为
, 等边三角形的三个顶点都在抛物线上，且三个顶点的横坐标之和为既约分数
,（
和
是一对互质正整数）. 又已知三角形一条边所在直线的斜率为
. 则的值是 __________.
选项
14
15
16
17
18
提交
等 9 人参与了问题讨论
设三角形顶点
.
线段
的斜率是
所以三角形三条边的斜率之和为
又已知三角形一条边所在直线的斜率为
, 即有
，
则其他两边所在直线的斜率为
因此
即